Упр.1204 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Сколько существует пар простых чисел (х;у), являющихся решениями уравнения 5x — 6у = 3? Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения n(n + 2)(n + 4)(n + 6) + 16 равно квадрату некоторого натурального числа. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak7 1204 715

Рассмотрим уравнение $$5x-6y=3.$$

Выразим $$x$$ через $$y$$:

$$5x=3+6y,$$

$$x=\frac{3+6y}{5}.$$

Так как $$x$$ и $$y$$ — простые числа, проверим простые значения $$y$$. Если $$y=2$$, то

$$x=\frac{3+6\cdot 2}{5}=\frac{15}{5}=3.$$

Пара $$\left(3;2\right)$$ подходит.

Если $$y=3,5,7,11,\dots$$, то числитель $$3+6y$$ не делится на $$5$$, поэтому $$x$$ не будет целым числом. Значит, других пар простых чисел нет.

Итак, существует только одна пара простых чисел $$\left(3;2\right).$$

Докажем, что при любом натуральном $$n$$ выражение $$n(n+2)(n+4)(n+6)+16$$ является квадратом натурального числа.

Сгруппируем множители:

$$n(n+2)(n+4)(n+6)+16=(n^2+6n)(n^2+6n+8)+16.$$

Обозначим $$a=n^2+6n.$$ Тогда

$$a(a+8)+16=a^2+8a+16=(a+4)^2.$$

Возвращаясь к $$n$$, получаем:

$$n(n+2)(n+4)(n+6)+16=(n^2+6n+4)^2.$$

Следовательно, данное выражение действительно является квадратом натурального числа.

Ответ

1) $$\left(3;2\right)$$ — одна пара.
2) $$n(n+2)(n+4)(n+6)+16=(n^2+6n+4)^2.$$