Упр.1203 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 равно квадрату некоторого натурального числа.

Преобразуем выражение:

$$
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
$$
$$
= n(n+3)(n+1)(n+2)+1
$$
$$
= (n^2+3n)(n^2+3n+2)+1
$$

Обозначим $$m=n^2+3n$$. Тогда

$$
m(m+2)+1=m^2+2m+1=(m+1)^2.
$$

Следовательно,

$$
n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2.
$$

Так как при натуральном $$n$$ число $$n^2+3n+1$$ также натуральное, то данное выражение является квадратом натурального числа.

Ответ

$$
n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2.
$$