Упр.1202 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Пусть х + у = а, ху = b. Докажите, что:
1) х2 + у2 = а2 — 2b;
2) х3 + y3 = а3 — 3аb;
3) х4 + у4 = a4 — 4а2b + 2b2.

Пусть $$x+y=a$$ и $$xy=b$$.

1. Найдём $$x^2+y^2$$:

   $$
   (x+y)^2=x^2+2xy+y^2
   $$

   Тогда

   $$
   x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=a^2-2b.
   $$

2. Найдём $$x^3+y^3$$:

   $$
   x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)
   $$

   Так как

   $$
   x^2-xy+y^2=(x^2+2xy+y^2)-3xy=(x+y)^2-3xy=a^2-3b,
   $$

   то

   $$
   x^3+y^3=(x+y)(a^2-3b)=a(a^2-3b)=a^3-3ab.
   $$

3. Найдём $$x^4+y^4$$:

   $$
   x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2
   $$

   Подставим найденные выражения:

   $$
   x^4+y^4=(a^2-2b)^2-2b^2
   $$

   $$
   =a^4-4a^2b+4b^2-2b^2
   $$

   $$
   =a^4-4a^2b+2b^2.
   $$

Ответ

$$x^2+y^2=a^2-2b,$$

$$x^3+y^3=a^3-3ab,$$

$$x^4+y^4=a^4-4a^2b+2b^2.$$