Упр.1201 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что сумма произведения трёх последовательных натуральных чисел и среднего из этих чисел равна кубу среднего числа.

1) Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид $$ax+by=c.$$

Так как график проходит через точки $$M(6;0)$$ и $$K(0;6),$$ подставим их координаты в уравнение:

$$6a+0b=c,$$
$$0a+6b=c.$$

Отсюда $$6a=6b,$$ значит, $$a=b.$$

Возьмём, например, $$a=5,$$ тогда $$b=5,$$ и

$$c=6a=6\cdot 5=30.$$

Искомое уравнение:

$$5x+5y=30.$$

2) Пусть три последовательных натуральных числа — это $$n,\; n+1,\; n+2.$$ Тогда их произведение и среднее число дают:

$$n(n+1)(n+2)+(n+1).$$

Вынесем общий множитель $$n+1$$:

$$n(n+1)(n+2)+(n+1)=(n+1)\bigl(n(n+2)+1\bigr).$$

Раскроем скобки:

$$n(n+2)+1=n^2+2n+1=(n+1)^2.$$

Тогда

$$n(n+1)(n+2)+(n+1)=(n+1)(n+1)^2=(n+1)^3.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$5x+5y=30.$$

Для трёх последовательных натуральных чисел $$n,\; n+1,\; n+2$$ верно:

$$n(n+1)(n+2)+(n+1)=(n+1)^3.$$