Упр.1199 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что значение выражения 17^10 — 3 * 7^24 + 3 * 7^25 + 17^9 делится нацело: 1) на 18; 2) на 36.

Подробный ответ

1) Проверим, может ли уравнение $$4x-8y=7$$ иметь точку с целыми координатами.

Выразим $$y$$:

$$8y=4x-7$$

$$y=\frac{1}{2}x-\frac{7}{8}$$

Если $$x$$ — целое число, то $$\frac{1}{2}x-\frac{7}{8}$$ не может быть целым числом, так как число $$\frac{7}{8}$$ не является целым. Значит, точек с обеими целыми координатами у графика нет.

2) Докажем делимость выражения $$17^{10}-3\cdot 7^{24}+3\cdot 7^{25}+17^9$$.

Преобразуем:

$$
17^{10}-3\cdot 7^{24}+3\cdot 7^{25}+17^9
=17^9(17+1)-3\cdot 7^{24}(1-7)
$$

$$
=17^9\cdot 18+3\cdot 7^{24}\cdot 6
=18\left(17^9+7^{24}\right)
$$

Следовательно, выражение делится на $$18$$.

Так как $$17^9$$ и $$7^{24}$$ — нечётные числа, то их сумма чётна:

$$17^9+7^{24}=2k$$

Тогда

$$18\left(17^9+7^{24}\right)=18\cdot 2k=36k$$

Значит, выражение делится и на $$36$$.