Упр.1180 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения 16n4 — (4n2 — 2n — 1)2 + 8n + 1 кратно 4.

Начало координат — это точка $$ (0;0). $$ Подставим её в уравнение:

$$11x-13y=a+4$$

$$11\cdot 0-13\cdot 0=a+4$$

$$0=a+4$$

$$a=-4$$

Докажем, что выражение

$$16n^4-(4n^2-2n-1)^2+8n+1$$

кратно $$4$$ при любом натуральном $$n$$.

Раскроем квадрат разности:

$$
\begin{aligned}
16n^4-(4n^2-2n-1)^2+8n+1
&=16n^4-\left(16n^4-16n^3-8n^2+4n^2+4n+1\right)+8n+1 \\
&=16n^4-16n^4+16n^3+4n^2-4n-1+8n+1 \\
&=16n^3+4n^2+4n \\
&=4n(4n^2+n+1).
\end{aligned}
$$

Получили произведение, содержащее множитель $$4$$, значит выражение кратно $$4$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

$$a=-4$$; выражение $$16n^4-(4n^2-2n-1)^2+8n+1$$ кратно $$4$$ при любом натуральном $$n$$.