Упр.1178 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения:
1) (4n + 19)2 — (3n — 5)2 делится нацело на 7;
2) (2n + 5)2 — (2n — З)2 делится нацело на 16.

1) Подставим в уравнение $$2x+7y=16$$ пару чисел $$\left(a;2a\right)$$:

$$2a+7\cdot 2a=16$$

$$2a+14a=16$$

$$16a=16$$

$$a=1$$

Значит, при $$a=1$$ пара чисел $$\left(a;2a\right)$$ является решением уравнения.

2) Докажем делимость.

$$
(4n+19)^2-(3n-5)^2=(4n+19-(3n-5))(4n+19+(3n-5))
$$

$$
=(n+24)(7n+14)=7(n+24)(n+2)
$$

Следовательно, выражение делится нацело на $$7$$ при любом натуральном $$n$$.

3) Аналогично:

$$
(2n+5)^2-(2n-3)^2=(2n+5-(2n-3))(2n+5+(2n-3))
$$

$$
=8(4n+2)=16(2n+1)
$$

Следовательно, выражение делится нацело на $$16$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

$$a=1$$; $$\,(4n+19)^2-(3n-5)^2$$ делится на $$7$$; $$\,(2n+5)^2-(2n-3)^2$$ делится на $$16$$.