Упр.1164 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

1) 4х — y = 7;
2)-2х + y =11;
3)5х-3у=15.
Докажите, что значение выражения:
1) 17^3 + 17^2 — 17 кратно 61;
2) 25^4 — 125^2 кратно 40;
3) 5 * 2^962 — 3 * 2^961 + 2^960 кратно 60.

Подробный ответ

$$4x-y=7$$
Выразим $$y$$:
$$y=4x-7$$
Возьмём, например, $$x=0$$ и $$x=1$$:
$$x=0 \Rightarrow y=4\cdot 0-7=-7$$
$$x=1 \Rightarrow y=4\cdot 1-7=-3$$
Подходящие решения: $$\,(0;-7),\ (1;-3).$$
$$-2x+y=11$$
Выразим $$y$$:
$$y=11+2x$$
Возьмём, например, $$x=0$$ и $$x=1$$:
$$x=0 \Rightarrow y=11+2\cdot 0=11$$
$$x=1 \Rightarrow y=11+2\cdot 1=13$$
Подходящие решения: $$\,(0;11),\ (1;13).$$
$$5x-3y=15$$
Выразим $$y$$:
$$-3y=15-5x$$
$$3y=5x-15$$
$$y=\frac{5}{3}x-5$$
Чтобы получить целые значения, возьмём, например, $$x=0$$ и $$x=3$$:
$$x=0 \Rightarrow y=\frac{5}{3}\cdot 0-5=-5$$
$$x=3 \Rightarrow y=\frac{5}{3}\cdot 3-5=0$$
Подходящие решения: $$\,(0;-5),\ (3;0).$$

Докажем делимость.

$$17^3+17^2-17=17(17^2+17-1)=17(289+17-1)=17\cdot 305=17\cdot 5\cdot 61.$$
Следовательно, выражение кратно $$61$$.
$$25^4-125^2=(5^2)^4-(5^3)^2=5^8-5^6=5^6(5^2-1)=5^6(25-1)=5^6\cdot 24.$$
Так как $$24=3\cdot 8$$, то
$$5^6\cdot 24=5^6\cdot 3\cdot 8=5^5\cdot 3\cdot 40.$$
Следовательно, выражение кратно $$40$$.
$$5\cdot 2^{962}-3\cdot 2^{961}+2^{960}=2^{960}(5\cdot 2^2-3\cdot 2+1).$$
$$2^{960}(5\cdot 4-6+1)=2^{960}\cdot 15.$$
$$2^{960}\cdot 15=2^{958}\cdot 4\cdot 15=2^{958}\cdot 60.$$
Следовательно, выражение кратно $$60$$.