Упр.1154 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Существуют ли такие значения х и у, при которых многочлены -4х2 — 12ху + 7у2 и 6х2 + 12ху — 5у2 одновременно принимают отрицательные значения?

Проверим каждую пару чисел подстановкой в уравнение $$3x-7y=14$$.

$$
(7;1):\ 3\cdot 7-7\cdot 1=21-7=14
$$
Пара является решением.

$$
(0;-2):\ 3\cdot 0-7\cdot(-2)=14
$$
Пара является решением.

$$
(8;2):\ 3\cdot 8-7\cdot 2=24-14=10\neq 14
$$
Пара не является решением.

$$
(-7;-5):\ 3\cdot(-7)-7\cdot(-5)=-21+35=14
$$
Пара является решением.

$$
(10;3):\ 3\cdot 10-7\cdot 3=30-21=9\neq 14
$$
Пара не является решением.

Теперь рассмотрим многочлены $$-4x^2-12xy+7y^2$$ и $$6x^2+12xy-5y^2$$.

Если оба многочлена отрицательны, то их сумма тоже должна быть отрицательной. Найдём сумму:

$$
(-4x^2-12xy+7y^2)+(6x^2+12xy-5y^2)=2x^2+2y^2=2(x^2+y^2).
$$

Но $$2(x^2+y^2)\ge 0$$ при любых $$x$$ и $$y$$. Значит, сумма не может быть отрицательной, поэтому такие значения $$x$$ и $$y$$ не существуют.

Ответ

Решениями уравнения являются пары $$ (7;1),\ (0;-2),\ (-7;-5) $$.
Таких значений $$x$$ и $$y$$, при которых оба многочлена одновременно отрицательны, не существует.