Упр.1151 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Какой многочлен надо прибавить к многочлену а4 — b4 + a3 — b3 — Заb, чтобы их сумма была тождественно равна многочлену b4 + 2ab?

1) Сравним произведения:

$$
(1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot 999\cdot 1000)^2
$$
и
$$
1000^{1000}.
$$

Левую часть можно записать как

$$
(1\cdot 1000)\cdot(2\cdot 999)\cdot(3\cdot 998)\cdot \ldots \cdot(1000\cdot 1).
$$

Правую часть представим как

$$
1000\cdot 1000\cdot \ldots \cdot 1000
$$
(1000 множителей).

Каждый множитель левой части не меньше соответствующего множителя правой части, а для многих пар — больше. Например,

$$
2\cdot 999>1000,\quad 3\cdot 998>1000.
$$

Значит,

$$
(1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot 999\cdot 1000)^2>1000^{1000}.
$$

2) Пусть к многочлену $$a^4-b^4+a^3-b^3-3ab$$ надо прибавить многочлен $$M$$, чтобы сумма была тождественно равна многочлену $$b^4+2ab$$. Тогда

$$
(a^4-b^4+a^3-b^3-3ab)+M=b^4+2ab.
$$

Отсюда

$$
M=b^4+2ab-(a^4-b^4+a^3-b^3-3ab).
$$

Раскроем скобки:

$$
M=b^4+2ab-a^4+b^4-a^3+b^3+3ab.
$$

Соберём подобные слагаемые:

$$
M=2b^4-a^4-a^3+b^3+5ab.
$$

Ответ

$$
(1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot 999\cdot 1000)^2>1000^{1000};
\quad
2b^4-a^4-a^3+b^3+5ab.
$$