Упр.1138 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что квадрат натурального числа имеет нечётное количество делителей.

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение $$|x|+|y|=2.$$

Так как $$|x|$$ и $$|y|$$ — неотрицательные целые числа, переберём все возможные значения $$|x|$$:

если $$|x|=0,$$ то $$|y|=2,$$ значит, $$y=2$$ или $$y=-2$$;
если $$|x|=1,$$ то $$|y|=1,$$ значит, $$y=1$$ или $$y=-1$$;
если $$|x|=2,$$ то $$|y|=0,$$ значит, $$y=0$$.

Получаем все целочисленные пары решений:

$$ (0;2),\ (0;-2),\ (1;1),\ (1;-1),\ (-1;1),\ (-1;-1),\ (2;0),\ (-2;0). $$

Докажем, что квадрат натурального числа имеет нечётное количество делителей.

Пусть $$n$$ — натуральное число. Тогда делители числа $$n^2$$ можно разбить на пары:

$$d \text{ и } \frac{n^2}{d}.$$

Если $$d \ne \frac{n^2}{d},$$ то делители входят в пары. Но у числа $$n^2$$ есть и делитель, который образует пару сам с собой: $$d=n.$$ Действительно,

$$n \cdot n = n^2.$$

Значит, все делители числа $$n^2$$, кроме $$n,$$ разбиваются на пары, а сам делитель $$n$$ остаётся один. Поэтому общее число делителей числа $$n^2$$ нечётно.