Упр.1131 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

1) х2 + у2 = 0;
2) (х + 2)2 + (у- З)2 =0;
3) х4 + y6 = -4.
Докажите, что при любом целом значении а значение выражения (а — 3)(а2 — а + 2) — а (а — 2)2 + 2а делится нацело на 3.

Подробный ответ

$$x^2+y^2=0$$
Так как $$x^2 \ge 0$$ и $$y^2 \ge 0$$, то сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только при
$$x=0,\quad y=0.$$
$$\left(x+2\right)^2+\left(y-3\right)^2=0$$
Аналогично, сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
$$x+2=0,\quad y-3=0.$$
Отсюда
$$x=-2,\quad y=3.$$
$$x^4+y^6=-4$$
Но $$x^4 \ge 0$$ и $$y^6 \ge 0$$ при любых действительных $$x$$ и $$y$$, значит левая часть не может быть отрицательной. Следовательно, решений нет.

Проверим делимость выражения на $$3$$:

$$
(a-3)(a^2-a+2)-a(a-2)^2+2a
$$

Раскроем скобки:

$$
(a-3)(a^2-a+2)=a^3-4a^2+5a-6
$$

$$
a(a-2)^2=a(a^2-4a+4)=a^3-4a^2+4a
$$

Тогда

$$
(a^3-4a^2+5a-6)-(a^3-4a^2+4a)+2a=3a-6=3(a-2).
$$

Значит, выражение делится нацело на $$3$$ при любом целом значении $$a$$.