Упр.1105 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Докажите, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится нацело на 3. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak7 1105 715

Подробный ответ

Пусть три последовательных натуральных числа — это $$n,\; n+1,\; n+2.$$

Рассмотрим сумму их кубов:

$$
n^3+(n+1)^3+(n+2)^3
$$

Раскроем скобки:

$$
n^3+\bigl(n^3+3n^2+3n+1\bigr)+\bigl(n^3+6n^2+12n+8\bigr)
$$

$$
=3n^3+9n^2+15n+9
$$

Вынесем общий множитель 3:

$$
3n^3+9n^2+15n+9=3\bigl(n^3+3n^2+5n+3\bigr)
$$

Следовательно, сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится нацело на 3.