Упр.1074 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что разность квадратов двух произвольных натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 3, кратна 3.

Пусть абсцисса и ордината точки графика — противоположные числа. Тогда можно обозначить их так: $$y=-x.$$

Подставим это в уравнение прямой $$y=-7x+8$$:

$$
-x=-7x+8 \\
6x=8 \\
x=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}
$$

Тогда

$$
y=-x=-\frac{4}{3}
$$

Следовательно, искомая точка графика:

$$\left(\frac{4}{3};-\frac{4}{3}\right).$$

Докажем, что разность квадратов двух натуральных чисел, каждое из которых не делится на 3, кратна 3.

Если натуральное число не делится на 3, то оно имеет вид $$3n+1$$ или $$3n-1$$.

Рассмотрим два таких числа: $$3n+1$$ и $$3n-1$$. Тогда

$$
(3n+1)^2-(3n-1)^2
= (9n^2+6n+1)-(9n^2-6n+1)
=12n
$$

Так как $$12n$$ делится на 3, то и разность квадратов данных чисел кратна 3.

Ответ

$$\left(\frac{4}{3};-\frac{4}{3}\right),$$ разность квадратов кратна 3.