Упр.1069 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Решите систему уравнений:
1) система
2/x+5/y=15,
3/x+8/y=23;
2) система

1) Найдём точку пересечения графиков функций $$y=x-1$$ и $$y=\frac14x+2$$.

В точке пересечения значения $$y$$ равны, значит:

$$x-1=\frac14x+2$$

$$x-\frac14x=3$$

$$\frac34x=3$$

$$x=4$$

Подставим в любое из уравнений:

$$y=4-1=3$$

Точка пересечения: $$\left(4;3\right)$$.

2) Решим систему:

$$
\begin{cases}
\frac{2}{x}+\frac{5}{y}=15,\\
\frac{3}{x}+\frac{8}{y}=23.
\end{cases}
$$

Обозначим $$a=\frac1x$$, $$b=\frac1y$$. Тогда получаем систему:

$$
\begin{cases}
2a+5b=15,\\
3a+8b=23.
\end{cases}
$$

Умножим первое уравнение на $$3$$, а второе на $$2$$:

$$
\begin{cases}
6a+15b=45,\\
6a+16b=46.
\end{cases}
$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$b=1$$

Тогда из $$2a+5b=15$$:

$$2a+5=15$$

$$2a=10$$

$$a=5$$

Возвращаемся к переменным $$x$$ и $$y$$:

$$\frac1x=5 \Rightarrow x=\frac15=0{,}2,\qquad \frac1y=1 \Rightarrow y=1$$

3) Решим систему:

$$
\begin{cases}
\frac{5}{2x-3y}+\frac{10}{3x-2y}=3,\\
\frac{20}{3x-2y}-\frac{15}{2x-3y}=1.
\end{cases}
$$

Обозначим $$a=\frac{1}{2x-3y}$$, $$b=\frac{1}{3x-2y}$$. Тогда:

$$
\begin{cases}
5a+10b=3,\\
-15a+20b=1.
\end{cases}
$$

Умножим первое уравнение на $$3$$:

$$15a+30b=9$$

Сложим его со вторым уравнением:

$$50b=10$$

$$b=\frac15$$

Тогда из $$5a+10b=3$$:

$$5a+2=3$$

$$5a=1$$

$$a=\frac15$$

Значит,

$$\frac{1}{2x-3y}=\frac15 \Rightarrow 2x-3y=5,$$

$$\frac{1}{3x-2y}=\frac15 \Rightarrow 3x-2y=5.$$

Решим систему:

$$
\begin{cases}
2x-3y=5,\\
3x-2y=5.
\end{cases}
$$

Умножим первое уравнение на $$3$$, второе на $$2$$:

$$
\begin{cases}
6x-9y=15,\\
6x-4y=10.
\end{cases}
$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$-5y=5$$

$$y=-1$$

Подставим в $$3x-2y=5$$:

$$3x+2=5$$

$$3x=3$$

$$x=1$$

Ответ

1) $$\left(4;3\right)$$; 2) $$\left(0{,}2;1\right)$$; 3) $$\left(1;-1\right)$$.