Упр.1067 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Решите уравнение:
1) (х + у)2 + (х-3)2 = 0;
2) (х + 2у — З)2 + х2 — 4ху + 4у2 = 0;
3) |х — 3у — 6| + (9х + 6y — 32)2 = 0;
4) х2 + у2 + 10x — 12у + 61 = 0;
5) 25×2 + 10y2 — 30ху + 8у + 16 = 0.

Подробный ответ

Подставим координаты точек в уравнение прямой $$y=1{,}8x-3$$ и проверим, выполняется ли равенство.

Для точки $$A(-2;\,-6{,}6)$$:
$$1{,}8\cdot(-2)-3=-3{,}6-3=-6{,}6,$$
значит, точка лежит на графике.

Для точки $$B(1;\,1{,}2)$$:
$$1{,}8\cdot1-3=1{,}8-3=-1{,}2,$$
значит, точка не лежит на графике.

Для точки $$C(0;\,-3)$$:
$$1{,}8\cdot0-3=-3,$$
значит, точка лежит на графике.

Для точки $$D(5;\,7)$$:
$$1{,}8\cdot5-3=9-3=6,$$
а $$7\ne6,$$ значит, точка не лежит на графике.

Решим уравнения.

$$ (x+y)^2+(x-3)^2=0 $$
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
$$\begin{cases}
x+y=0,\\
x-3=0.
\end{cases}$$
Отсюда $$x=3,$$ $$y=-3.$$
$$ (x+2y-3)^2+x^2-4xy+4y^2=0 $$
Заметим, что
$$x^2-4xy+4y^2=(x-2y)^2.$$
Тогда
$$ (x+2y-3)^2+(x-2y)^2=0. $$
Значит,
$$\begin{cases}
x+2y-3=0,\\
x-2y=0.
\end{cases}$$
Складываем уравнения:
$$2x=3,\quad x=1{,}5.$$
Тогда
$$1{,}5-2y=0,\quad y=0{,}75.$$
$$ |x-3y-6|+(9x+6y-32)^2=0 $$
Каждое слагаемое неотрицательно, значит, оба равны нулю:
$$\begin{cases}
x-3y-6=0,\\
9x+6y-32=0.
\end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$2$$:
$$2x-6y=12.$$
Складываем с вторым:
$$11x=44,\quad x=4.$$
Тогда
$$4-3y=6,\quad y=-\frac{2}{3}.$$
$$ x^2+y^2+10x-12y+61=0 $$
Выделим полные квадраты:
$$x^2+10x+25+y^2-12y+36=0,$$
$$ (x+5)^2+(y-6)^2=0. $$
Следовательно,
$$\begin{cases}
x+5=0,\\
y-6=0.
\end{cases}$$
Отсюда $$x=-5,$$ $$y=6.$$
$$ 25x^2+10y^2-30xy+8y+16=0 $$
Сгруппируем слагаемые:
$$25x^2-30xy+9y^2+y^2+8y+16=0,$$
$$ (5x-3y)^2+(y+4)^2=0. $$
Значит,
$$\begin{cases}
5x-3y=0,\\
y+4=0.
\end{cases}$$
Тогда $$y=-4,$$ и
$$5x-3(-4)=0,\quad 5x=-12,\quad x=-2{,}4.$$