Упр.1046 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Найдите все целые числа х и у, при которых выполняется равенство х + у = ху.

Пусть сторона исходного квадрата равна $$x$$ клеткам, а сторона вырезанного квадрата — $$y$$ клеткам. Тогда по условию

$$x^2-y^2=71.$$

Разложим разность квадратов на множители:

$$x^2-y^2=(x-y)(x+y).$$

Так как $$71$$ — простое число, то

$$x-y=1,\quad x+y=71$$

или

$$x-y=71,\quad x+y=1.$$

Во втором случае целых положительных решений нет. Из первой системы получаем:

$$
\begin{cases}
x-y=1,\\
x+y=71
\end{cases}
$$

Складываем уравнения:

$$2x=72,\quad x=36.$$

Тогда

$$y=71-36=35.$$

Проверим: $$36^2-35^2=1296-1225=71.$$

Значит, исходный лист содержал $$36^2$$ клеток:

$$36^2=1296.$$

Теперь найдём все целые числа $$x$$ и $$y$$, при которых выполняется равенство $$x+y=xy$$.

Перенесём всё в одну сторону:

$$xy-x-y=0.$$

Прибавим $$1$$ к обеим частям:

$$xy-x-y+1=1.$$

Сгруппируем:

$$
(x-1)(y-1)=1.
$$

Так как $$x$$ и $$y$$ — целые числа, то возможны только два случая:

$$x-1=1,\ y-1=1$$

или

$$x-1=-1,\ y-1=-1.$$

Отсюда:

$$x=y=2$$

или

$$x=y=0.$$

Ответ

$$1296; \ (0,0),\ (2,2).$$