Упр.1043 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что значение выражения 2^4n — 1 делится нацело на 5 при любом натуральном значении n.

1) Пусть всего было $$x$$ пчёл.

На первый цветок село $$\frac{1}{5}x$$ пчёл, на второй — $$\frac{1}{3}x$$ пчёл. Тогда разность между ними равна

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{5}x=\frac{5x-3x}{15}=\frac{2x}{15}.$$

По условию эту разность нужно взять трижды и ещё прибавить 1 пчелу, которая никуда не села. Получаем уравнение:

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{3}x+3\left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{5}x\right)+1=x.$$

Упростим:

$$\frac{3x}{15}+\frac{5x}{15}+3\cdot\frac{2x}{15}+1=x$$

$$\frac{8x}{15}+\frac{6x}{15}+1=x$$

$$\frac{14x}{15}+1=x.$$

Умножим обе части на 15:

$$14x+15=15x$$

$$x=15.$$

Значит, всего было 15 пчёл.

2) Докажем, что $$2^{4n}-1$$ делится на 5 при любом натуральном $$n$$.

Имеем:

$$2^{4n}-1=(2^4)^n-1=16^n-1.$$

Число $$16^n$$ оканчивается цифрой 6, значит число $$16^n-1$$ оканчивается цифрой 5. Следовательно, оно делится на 5.

Ответ

$$15$$ пчёл; $$2^{4n}-1$$ делится на 5 при любом натуральном $$n$$.