Упр.1023 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

1) A(9; -3);
2) В (6; 2);
3) С (-1; 3);
4) D (-12; 4)? Подберите такие значения а и b, при которых система уравнений
система
х-2 у = 3,
ах + 4у = b
1) имеет бесконечно много решений;
2) имеет единственное решение;
3) не имеет решений.

Подробный ответ

Проверим, удовлетворяют ли координаты точек уравнению $$y=-\frac{x}{3}.$$

1) $$A(9;-3): \quad -\frac{9}{3}=-3,$$ значит, точка принадлежит графику.

2) $$B(6;2): \quad -\frac{6}{3}=-2,$$ а $$2\ne -2,$$ значит, точка не принадлежит графику.

3) $$C(-1;3): \quad -\frac{-1}{3}=\frac{1}{3},$$ а $$3\ne \frac{1}{3},$$ значит, точка не принадлежит графику.

4) $$D(-12;4): \quad -\frac{-12}{3}=4,$$ значит, точка принадлежит графику.

Рассмотрим систему

$$
\begin{cases}
x-2y=3,\\
ax+4y=b.
\end{cases}
$$

1) Чтобы система имела бесконечно много решений, уравнения должны задавать одну и ту же прямую. Умножим первое уравнение на $$-2$$:

$$
x-2y=3 \;\Rightarrow\; -2x+4y=-6.
$$

Тогда нужно, чтобы

$$
a=-2,\quad b=-6.
$$

2) Чтобы система имела единственное решение, прямые должны пересекаться. Это возможно, если коэффициенты при $$x$$ и $$y$$ не пропорциональны, то есть

$$
a\ne -2.
$$

При этом $$b$$ может быть любым числом.

3) Чтобы система не имела решений, прямые должны быть параллельны, но не совпадать. Значит, коэффициенты при $$x$$ и $$y$$ пропорциональны, а свободные члены — нет:

$$
a=-2,\quad b\ne -6.
$$