Упр.1001 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что значение выражения 2^36 + 4^100 — 2632 — 4^98 кратно числу: 1) 15; 2) 240.

1) Функция задана формулой $$y=x^2+2x-1.$$

Найдём, при каких значениях $$x$$ значение функции равно удвоенному значению аргумента:

$$x^2+2x-1=2x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^2-1=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0.$$

Отсюда

$$x=1 \quad \text{или} \quad x=-1.$$

2) Докажем, что выражение $$2^{36}+4^{100}-2^{32}-4^{98}$$ кратно числам $$15$$ и $$240$$.

Преобразуем степени двойки:

$$4^{100}=\left(2^2\right)^{100}=2^{200}, \qquad 4^{98}=\left(2^2\right)^{98}=2^{196}.$$

Тогда

$$2^{36}+4^{100}-2^{32}-4^{98}=2^{36}+2^{200}-2^{32}-2^{196}.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$\left(2^{36}-2^{32}\right)+\left(2^{200}-2^{196}\right)=2^{32}\left(2^4-1\right)+2^{196}\left(2^4-1\right).$$

Вынесем общий множитель:

$$\left(2^4-1\right)\left(2^{32}+2^{196}\right)=15\left(2^{32}+2^{196}\right).$$

Значит, выражение кратно $$15$$.

Теперь покажем кратность $$240$$:

$$15\left(2^{32}+2^{196}\right)=15\cdot 2^4\left(2^{28}+2^{192}\right)=240\left(2^{28}+2^{192}\right).$$

Следовательно, выражение кратно $$240$$.

Ответ

1) $$x=-1,\;1.$$
2) Выражение кратно $$15$$ и $$240$$.