Проверьте себя №7 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

1. Какая из приведённых пар чисел является решением уравнения 5х + 3у = 4?
А) (2; 1) Б) (1; 0) В) (2;-2) Г) (-1; 2)
2. Каковы координаты точки пересечения графика уравнения 2х — 5у = 10 с осью абсцисс?
А) (0; -2) Б) (-2; 0) В) (0; 5) Г) (5; 0)
3. Решите систему уравнений {(5x-4y=11, 2x+4y=10) .
А) (3; 1) Б) (1; 3) В) (1; 2) Г) (2; 1)
4. Решите систему уравнений {(15x+2y=7, 2x-y=6) .
А) (3; -19) Б) (1; -4) В) (-5; 41) Г) (-1; 11)
5. Пусть пара чисел (а; Ь) является решением системы уравнений {(x+y=1, 3x-y=7)
Найдите значение выражения а^2 — Ь^2.
А) 5 Б) -5 В) 3 Г) -3
6. При каком значении а система уравнений {(3x+y=4, x-ay=-6) не имеет решений?
А) 3 Б) -3 В) 1/3 Г) -1/3
7. При каком значении b система уравнений {(4x+by=10, 2x-3y=5) имеет бесконечно много решений?
А) -6 В) 3
Б) 6 Г) такого значения не существует
8. График линейной функции проходит через точки A (1; 4) и В (-2; 13). Задайте эту функцию формулой.
А) у = Зx + 1 В) у = -3х + 1
Б) у = -3х +7 Г) у = 3х + 7
9. Мать и дочь слепили вместе 104 вареника, причём дочь работала 2 ч, а мать — 3 ч. За 1 ч мать делает на 8 вареников больше, чем дочь.
Пусть дочь за 1 ч делает х вареников, а мать — у вареников. Какая из следующих систем уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии?
А) {(2x+3y=104, x-y=8) В) {(2x+3y=104, y-x=8)
Б) {(3x+2y=104, x-y=8) Г) {(3x+2y=104, y-x=8)
10. Из двух городов, расстояние между которыми 60 км, выехали одновременно грузовая и легковая машины. Если они поедут навстречу друг другу, то встретятся через 30 мин. Если они поедут в одном направлении, то легковая машина догонит грузовую через 3 ч после начала движения.
Пусть скорость грузовой машины равна х км/ч, а легковой — у км/ч. Какая из следующих систем уравнений соответствует условию задачи?
А) {(0,5x+0,5y=60, 3y-3x=60) В) {(30x+30y=60, 3x-3y=60)
Б) {(30x+30y=60, 3y-3x=60) Г) {(0,5x+0,5y=60, 3x-3y=60)
11. Телевизор и DVD-проигрыватель стоили вместе 12 600 р. После того как телевизор подорожал на 10 %, а DVD-проигрыватель подешевел на 10 %, они стали стоить вместе 13 140 р.
Пусть телевизор стоил сначала х р., а DVD-проигрыватель — у р. Какая из следующих систем уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?
А) {(x+y=12 600, 110x+90y=13 140) В) {(x+y=12 600, 0,1x+0,1y=13 140)
Б) {(x+y=12 600, 1,1x+0,9y=13 140) Г) {(x+y=12 600, 0,9x+1,1y=13 140)
12. Решите уравнение x^2 + y^2 +12x-2y+37=0.
А) (6; 1) В) (-6; -1)
Б) (-6; 1) Г) уравнение не имеет решений

Подробный ответ

Проверим пары чисел в уравнении $$5x+3y=4$$:
$$5\cdot 2+3\cdot(-2)=10-6=4.$$
Значит, подходит пара $$ (2;\,-2) $$.
Точка пересечения с осью абсцисс имеет $$y=0$$. Тогда:
$$2x-5\cdot 0=10,$$
$$2x=10,$$
$$x=5.$$
Получаем точку $$ (5;\,0) $$.
Решим систему:
$$
\begin{cases}
5x-4y=11,\\
2x+4y=10.
\end{cases}
$$
Сложим уравнения:
$$
7x=21,\quad x=3.
$$
Подставим во второе уравнение:
$$
2\cdot 3+4y=10,\quad 4y=4,\quad y=1.
$$
Ответ: $$ (3;\,1) $$.
Решим систему:
$$
\begin{cases}
15x+2y=7,\\
2x-y=6.
\end{cases}
$$
Умножим второе уравнение на $$2$$:
$$
4x-2y=12.
$$
Сложим с первым:
$$
19x=19,\quad x=1.
$$
Тогда
$$
2\cdot 1-y=6,\quad y=-4.
$$
Ответ: $$ (1;\,-4) $$.
Решим систему:
$$
\begin{cases}
x+y=1,\\
3x-y=7.
\end{cases}
$$
Сложим уравнения:
$$
4x=8,\quad x=2.
$$
Тогда
$$
y=1-x=-1.
$$
Значит, $$a=2,\ b=-1$$, и
$$
a^2-b^2=2^2-(-1)^2=4-1=3.
$$
Система не имеет решений, если прямые параллельны. Преобразуем первое уравнение:
$$
3x+y=4 \quad \Rightarrow \quad y=-3x+4.
$$
Второе:
$$
x-ay=-6 \quad \Rightarrow \quad y=\frac{1}{a}x+\frac{6}{a}.
$$
Для параллельности коэффициенты при $$x$$ должны быть равны:
$$
\frac{1}{a}=-3,\quad a=-\frac{1}{3}.
$$
Система имеет бесконечно много решений, если уравнения задают одну и ту же прямую:
$$
\begin{cases}
4x+by=10,\\
2x-3y=5.
\end{cases}
$$
Умножим второе уравнение на $$2$$:
$$
4x-6y=10.
$$
Значит,
$$
b=-6.
$$
Ищем уравнение прямой через точки $$A(1;4)$$ и $$B(-2;13)$$. Пусть
$$
y=kx+b.
$$
Тогда
$$
\begin{cases}
4=k+b,\\
13=-2k+b.
\end{cases}
$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$
-3k=9,\quad k=-3.
$$
Тогда
$$
b=4-k=7.
$$
Получаем:
$$
y=-3x+7.
$$
Пусть дочь за 1 ч делает $$x$$ вареников, а мать — $$y$$ вареников. Тогда:
$$
2x+3y=104,
$$
а также
$$
y-x=8.
$$
При движении навстречу друг другу:
$$
0{,}5(x+y)=60.
$$
При движении в одном направлении:
$$
3(y-x)=60.
$$
Значит, система:
$$
\begin{cases}
0{,}5(x+y)=60,\\
3(y-x)=60.
\end{cases}
$$
После изменения цен:
$$
1{,}1x+0{,}9y=13140.
$$
Вместе с условием $$x+y=12600$$ получаем систему:
$$
\begin{cases}
x+y=12600,\\
1{,}1x+0{,}9y=13140.
\end{cases}
$$
Преобразуем уравнение:
$$
x^2+y^2+12x-2y+37=0
$$
$$
(x^2+12x+36)+(y^2-2y+1)=0
$$
$$
(x+6)^2+(y-1)^2=0.
$$
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
$$
x+6=0,\quad y-1=0.
$$
Значит,
$$
x=-6,\quad y=1.
$$