Вопросы и задания Параграф 3 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

2 Что значит решить уравнение? Решите уравнение: 6х=-12; х — 2х • 6 = 0; 5х — 4х = 6 + х.
3 Какие уравнения называются равносильными? Сформулируйте свойства уравнений. Приведите пример уравнения, равносильного уравнению: 5х — 1 = 3; 0,2х=1,1; Зх-4x 4 6 = 0.
4 Дайте определение линейного уравнения с одной переменной. Приведите примеры.
5 В каком случае уравнение ах=b имеет единственный корень; имеет бесконечно много корней; не имеет корней? Приведите примеры.

1. Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

   Проверим число $$7$$:

   $$6x=42 \Rightarrow 6\cdot 7=42 \Rightarrow 42=42,$$ значит, $$7$$ — корень.

   $$0x=11 \Rightarrow 0\cdot 7=11 \Rightarrow 0\ne 11,$$ значит, $$7$$ не является корнем.

   $$\left(16-2\cdot 8\right)x=0 \Rightarrow (16-16)x=0 \Rightarrow 0\cdot 7=0 \Rightarrow 0=0,$$ значит, $$7$$ — корень.

2. Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

   $$6x=-12$$

   $$x=\frac{-12}{6}=-2$$

   $$x-2x\cdot 6=0$$

   $$x-12x=0$$

   $$-11x=0$$

   $$x=0$$

   $$5x-4x=6+x$$

   $$x=6+x$$

   $$x-x=6$$

   $$0x=6,$$ корней нет.

3. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными.

   Свойства уравнений:

   • если перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив знак, получится равносильное уравнение;
   • если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, получится равносильное уравнение.

   Примеры равносильных уравнений:

   $$5x-1=3 \quad \text{и} \quad 5x=4$$

   $$0{,}2x=1{,}1 \quad \text{и} \quad x=5{,}5$$

   $$3x-4x+6=0 \quad \text{и} \quad 3x-4x=-6$$

4. Уравнение вида $$ax=b$$, где $$x$$ — переменная, а $$a$$ и $$b$$ — некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

   Примеры:

   $$12a=36,\quad 5{,}1b=20{,}5,\quad \frac{1}{3}x=9,\quad 15x=30,\quad 4x=4,\quad 2x=10.$$

5. Линейное уравнение $$ax=b$$ имеет:

   • единственный корень при $$a\ne 0$$;
   • бесконечно много корней при $$a=0,\ b=0$$;
   • не имеет корней при $$a=0,\ b\ne 0$$.

   Примеры:

   $$15x=30,\quad 11x-4x=14$$ — единственный корень;

   $$0x=0,\quad 3y+(y-2)=2(2y-1)$$ — бесконечно много корней;

   $$0x=7,\quad 2y-(y+5)=y$$ — корней нет.

Ответ

1) $$7$$ — корень уравнений $$6x=42$$ и $$\left(16-2\cdot 8\right)x=0$$, не является корнем уравнения $$0x=11$$.

2) $$x=-2$$; $$x=0$$; корней нет.

3) Равносильные уравнения имеют одни и те же корни; свойства: перенос слагаемого с изменением знака, умножение или деление обеих частей на одно и то же ненулевое число.

4) $$ax=b$$ — линейное уравнение с одной переменной.

5) При $$a\ne 0$$ — один корень; при $$a=0,\ b=0$$ — бесконечно много корней; при $$a=0,\ b\ne 0$$ — корней нет.