Вопросы и задания Параграф 11 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Напишите формулу квадрата суммы. Проведите доказательство.
2. Напишите формулу квадрата разности. Проведите доказательство.
3. Приведите пример трёхчлена, который можно представить в виде квадрата суммы.
4. Приведите пример трёхчлена, который можно представить в виде квадрата разности.
5. Напишите формулу куба суммы. Возведите в куб двучлен а + 2b.
6. Напишите формулу куба разности. Возведите в куб двучлен 3х — у.

1. Формула квадрата суммы:

   $$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$

   Доказательство:

   $$ (a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2 $$

2. Формула квадрата разности:

   $$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $$

   Доказательство:

   $$ (a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2 $$

3. Примеры трёхчленов, которые можно представить в виде квадрата суммы:

   $$25y^2+40y+16=(5y+4)^2$$

   $$x^2+4x+4=(x+2)^2$$

   $$81x^2+18x+1=(9x+1)^2$$

4. Примеры трёхчленов, которые можно представить в виде квадрата разности:

   $$81x^2-18x+1=(9x-1)^2$$

   $$4x^2-12x+9=(2x-3)^2$$

   $$16x^2-8x+1=(4x-1)^2$$

5. Формула куба суммы:

   $$ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 $$

   Возведём в куб двучлен $$a+2b$$:

   $$ (a+2b)^3=a^3+3a^2\cdot 2b+3a\cdot (2b)^2+(2b)^3 $$

   $$ (a+2b)^3=a^3+6a^2b+12ab^2+8b^3 $$

6. Формула куба разности:

   $$ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 $$

   Возведём в куб двучлен $$3x-y$$:

   $$ (3x-y)^3=(3x)^3-3(3x)^2\cdot y+3\cdot 3x\cdot y^2-y^3 $$

   $$ (3x-y)^3=27x^3-27x^2y+9xy^2-y^3 $$

Ответ

$$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, \quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $$

$$25y^2+40y+16=(5y+4)^2,\; x^2+4x+4=(x+2)^2,\; 81x^2+18x+1=(9x+1)^2$$

$$81x^2-18x+1=(9x-1)^2,\; 4x^2-12x+9=(2x-3)^2,\; 16x^2-8x+1=(4x-1)^2$$

$$ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,\quad (a+2b)^3=a^3+6a^2b+12ab^2+8b^3 $$

$$ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3,\quad (3x-y)^3=27x^3-27x^2y+9xy^2-y^3 $$