Вопросы и задания Параграф 6 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

2 Сформулируйте и докажите основное свойство степени.
3 Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Представьте в виде степени произведение 12 • 12^3-12^6.
4 Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Представьте в виде степени частное 5,7^6: 5,7^3.
5 Дайте определение степени числа с нулевым показателем. 6 Сформулируйте правило возведения в степень произведения, правило возведения в степень степени. Представьте в виде степени выражение: (5ab) : (а3)6; у4(у2)6.

1. Степенью числа $$a$$ с натуральным показателем $$n>1$$ называется выражение $$a^n$$, равное произведению $$n$$ множителей, каждый из которых равен $$a$$.
   Степень числа $$a$$ с показателем $$1$$ называется само число $$a$$.

   Примеры:

   • $$5^{15}$$ — 5 в степени 15; $$5$$ — основание степени, 15 — показатель степени;
   • $$3^1$$ — 3 в степени 1; $$3$$ — основание степени, 1 — показатель степени;
   • $$2^3$$ — 2 в кубе; $$2$$ — основание степени, 3 — показатель степени;
   • $$8^2$$ — 8 в квадрате; $$8$$ — основание степени, 2 — показатель степени.
2. Основное свойство степени:
   $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}.$$

   Доказательство:

   $$a^m \cdot a^n = (\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m\ \text{раз}})\cdot(\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\ \text{раз}})=\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m+n\ \text{раз}}=a^{m+n}.$$

3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают:
   $$12 \cdot 12^3 \cdot 12^6 = 12^{1+3+6} = 12^{10}.$$
4. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя:
   $$5{,}7^6 : 5{,}7^3 = 5{,}7^{6-3} = 5{,}7^3.$$
5. Степень числа $$a$$, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице:
   $$a^0=1,\quad a\ne 0.$$
6. Правило возведения в степень произведения:
   $$(ab)^n=a^n b^n.$$
   
   Правило возведения степени в степень:
   $$(a^n)^m=a^{nm}.$$

   Тогда:

   $$\begin{aligned} (5ab)^4 &= 5^4 a^4 b^4 = 625a^4b^4,\\ (a^3)^6 &= a^{3\cdot 6}=a^{18},\\ y^4\cdot (y^2)^6 &= y^4\cdot y^{2\cdot 6}=y^4\cdot y^{12}=y^{4+12}=y^{16}. \end{aligned}$$

Ответ

1) $$a^n$$ — произведение $$n$$ множителей, равных $$a$$; примеры: $$5^{15},\ 3^1,\ 2^3,\ 8^2$$.
2) $$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$.
3) $$12\cdot 12^3\cdot 12^6=12^{10}$$.
4) $$5{,}7^6:5{,}7^3=5{,}7^3$$.
5) $$a^0=1,\ a\ne 0$$.
6) $$(ab)^n=a^n b^n,\ (a^n)^m=a^{nm};\ (5ab)^4=625a^4b^4,\ (a^3)^6=a^{18},\ y^4\cdot (y^2)^6=y^{16}$$.