Упр.996 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Задача

Найдите значение выражения:
Докажите тождество $$\left(a^2+b^2\right)\left(a^5+cd\right)-ab\left(a^2+b^2-c^2-d^2\right)=\left(ac+bd\right)\left(ad+bc\right)$$.

Подробный ответ

Используем формулу разности квадратов:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

Тогда

$$\frac{38^2-17^2}{72^2-16^2} = \frac{(38-17)(38+17)}{(72-16)(72+16)} = \frac{21\cdot 55}{56\cdot 88} = \frac{3\cdot 5}{8\cdot 8} = \frac{15}{64}.$$

$$\frac{39{,}5^2-3{,}5^2}{57{,}5^2-14{,}5^2} = \frac{(39{,}5-3{,}5)(39{,}5+3{,}5)}{(57{,}5-14{,}5)(57{,}5+14{,}5)} = \frac{36\cdot 43}{43\cdot 72} = \frac{1}{2}.$$

$$\frac{17{,}5^2-9{,}5^2}{131{,}5^2-3{,}5^2} = \frac{(17{,}5-9{,}5)(17{,}5+9{,}5)}{(131{,}5-3{,}5)(131{,}5+3{,}5)} = \frac{8\cdot 27}{128\cdot 135} = \frac{1\cdot 1}{16\cdot 5} = \frac{1}{80}.$$

Докажем тождество:

$$(a^2+b^2)(ab+cd)-ab(a^2+b^2-c^2-d^2)=(ac+bd)(ad+bc).$$

Раскроем скобки в левой части:

$$a^3b+a^2cd+ab^3+b^2cd-a^3b-ab^3+abc^2+abd^2$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$a^2cd+b^2cd+abc^2+abd^2.$$

Сгруппируем:

$$ac(ad+bc)+bd(bc+ad).$$

Вынесем общий множитель:

$$(ad+bc)(ac+bd).$$

Следовательно,

$$(a^2+b^2)(ab+cd)-ab(a^2+b^2-c^2-d^2)=(ac+bd)(ad+bc).$$