Упр.981 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
- Докажите, что значение выражения:
а) $$83^4+65$$ кратно $$81$$;
б) $$141^{10}+88$$ кратно $$139$$. - Представьте в виде произведения:
а) $$x^{10}-1$$;
б) $$y^{12}-16$$;
в) $$a^2x^8-81$$;
г) $$36-b^4y^6$$;
д) $$25p^4q^4-1$$;
е) $$-9+121m^8n^8$$;
ж) $$0{,}01x^{16}-0{,}16$$;
з) $$1{,}69y^{14}-1{,}21$$;
и) $$\frac{4m^6}{9}-\frac{25}{36}$$.
а) $$83^4+65=(81+2)^4+65$$
По формуле бинома Ньютона:
$$(81+2)^4=81^4+4\cdot81^3\cdot2+6\cdot81^2\cdot2^2+4\cdot81\cdot2^3+2^4$$
Тогда
$$83^4+65=81^4+4\cdot81^3\cdot2+6\cdot81^2\cdot2^2+4\cdot81\cdot2^3+2^4+65$$
Все слагаемые, кроме $$2^4+65=16+65=81,$$ делятся на $$81$$, значит, всё выражение делится на $$81$$.
б) $$141^{10}+88=(139+2)^{10}+88$$
По формуле бинома Ньютона все члены разложения, кроме последнего, содержат множитель $$139$$. Остаётся проверить последний член:
$$2^{10}+88=1024+88=1112=139\cdot8$$
Значит, и всё выражение делится на $$139$$.
а) $$x^{10}-1=(x^5-1)(x^5+1)$$
б) $$y^{12}-16=(y^6-4)(y^6+4)$$
в) $$a^2x^8-81=(ax^4-9)(ax^4+9)$$
г) $$36-b^4y^6=(6-b^2y^3)(6+b^2y^3)$$
д) $$25p^4q^4-1=(5p^2q^2-1)(5p^2q^2+1)$$
е) $$-9+121m^8n^8=(11m^4n^4-3)(11m^4n^4+3)$$
ж) $$0{,}01x^{16}-0{,}16=(0{,}1x^8-0{,}4)(0{,}1x^8+0{,}4)$$
з) $$1{,}69y^{14}-1{,}21=(1{,}3y^7-1{,}1)(1{,}3y^7+1{,}1)$$
и) $$\frac{4}{9}m^6-\frac{25}{36}=\left(\frac{2}{3}m^3-\frac{5}{6}\right)\left(\frac{2}{3}m^3+\frac{5}{6}\right)$$
Ответ
а) кратно $$81$$; б) кратно $$139$$;
а) $$x^{10}-1=(x^5-1)(x^5+1)$$; б) $$y^{12}-16=(y^6-4)(y^6+4)$$; в) $$a^2x^8-81=(ax^4-9)(ax^4+9)$$; г) $$36-b^4y^6=(6-b^2y^3)(6+b^2y^3)$$; д) $$25p^4q^4-1=(5p^2q^2-1)(5p^2q^2+1)$$; е) $$-9+121m^8n^8=(11m^4n^4-3)(11m^4n^4+3)$$; ж) $$0{,}01x^{16}-0{,}16=(0{,}1x^8-0{,}4)(0{,}1x^8+0{,}4)$$; з) $$1{,}69y^{14}-1{,}21=(1{,}3y^7-1{,}1)(1{,}3y^7+1{,}1)$$; и) $$\frac{4}{9}m^6-\frac{25}{36}=\left(\frac{2}{3}m^3-\frac{5}{6}\right)\left(\frac{2}{3}m^3+\frac{5}{6}\right)$$.
