Упр.969 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Докажите, что если к произведению трёх последовательных целых чисел прибавить среднее из них, то полученная сумма будет равна кубу среднего числа.

Обозначим сторону исходного квадрата через $$x$$ см. Тогда после увеличения она станет равной $$x+4$$ см.

По условию площадь увеличилась на $$96$$ см², значит:

$$ (x+4)^2-x^2=96 $$

Раскроем скобки:

$$ x^2+8x+16-x^2=96 $$

$$ 8x+16=96 $$

$$ 8x=80 $$

$$ x=10 $$

Следовательно, сторона исходного квадрата равна $$10$$ см.

Докажем утверждение. Пусть три последовательных целых числа — это $$x-1$$, $$x$$ и $$x+1$$, где $$x$$ — среднее число.

Тогда их произведение, увеличенное на среднее число, равно:

$$ (x-1)x(x+1)+x $$

Преобразуем:

$$ (x-1)x(x+1)+x=x(x^2-1)+x=x^3-x+x=x^3 $$

Получили куб среднего числа, что и требовалось доказать.

Ответ

$$10\text{ см}$$; доказано.