Упр.967 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

x^3-x
Преобразуем исходное выражение.
x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)
Получили выражение, представляющее собой произведение трёх последовательных чисел.
Из двух последовательных чисел одно обязательно делится на 2, значит, одно из этих чисел кратно 2.
Из трёх последовательных чисел одно обязательно делится на 3, значит кратно 3.
Таким образом, значение выражения кратно 6.
Что и требовалось доказать.

Преобразуем многочлен:

$$x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$$

Получили произведение трёх последовательных целых чисел.

Среди двух соседних чисел одно обязательно чётное, значит, произведение делится на $$2$$.

Среди трёх последовательных чисел одно обязательно делится на $$3$$, значит, произведение делится на $$3$$.

Так как число делится и на $$2$$, и на $$3$$, то оно делится на $$6$$.

Следовательно, значения многочлена $$x^3-x$$ при целых значениях $$x$$ кратны числу $$6$$.

Ответ

$$x^3-x=x(x-1)(x+1)$$, значит, при целых $$x$$ значение многочлена кратно $$6$$.