Упр.967 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что значения многочлена $$x^3-x$$ при целых значениях $$x$$ кратны числу 6.
2. Докажите, что значение выражения не зависит от $$x$$:
   а) $$(x+7)^2-(x-5)(x+19)$$;
   б) $$(x+9)^2+(8-x)(x+26)$$.

$$x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$$

Получили произведение трёх последовательных целых чисел.

Среди двух последовательных чисел одно обязательно чётное, значит, произведение делится на $$2$$.

Среди трёх последовательных чисел одно обязательно делится на $$3$$, значит, произведение делится на $$3$$.

Следовательно, произведение делится на $$2\cdot 3=6$$, то есть значение многочлена $$x^3-x$$ при целых значениях $$x$$ кратно $$6$$.

Ответ: значение многочлена кратно $$6$$.