Упр.951 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Представьте в виде произведения: а) $$y^3-y^5$$; б) $$2x-2x^3$$; в) $$81x^2-x^4$$; г) $$4y^3-100y^5$$.
2. Докажите, что значения многочлена $$x^3-x$$ при целых значениях $$x$$ кратны числу $$6$$.

а) $$y^3-y^5=y^3(1-y^2)=y^3(1-y)(1+y)$$

б) $$2x-2x^3=2x(1-x^2)=2x(1-x)(1+x)$$

в) $$81x^2-x^4=x^2(81-x^2)=x^2(9-x)(9+x)$$

г) $$4y^3-100y^5=4y^3(1-25y^2)=4y^3(1-5y)(1+5y)$$

Для многочлена $$x^3-x$$ получаем:

$$x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$$

Это произведение трёх последовательных целых чисел. Среди любых трёх последовательных чисел одно делится на $$3$$, а среди двух соседних чисел одно чётное, значит, произведение делится на $$2$$. Следовательно, оно делится на $$6$$.

Ответ: $$y^3(1-y)(1+y);\ 2x(1-x)(1+x);\ x^2(9-x)(9+x);\ 4y^3(1-5y)(1+5y);$$ значения многочлена $$x^3-x$$ при целых $$x$$ кратны $$6$$.