Упр.924 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
- Разложите на множители:
а) $$8-m^3$$; б) $$c^3+27$$; в) $$64x^3+1$$; г) $$1-\frac{p^3}{8}$$; д) $$m^3-27n^3$$; е) $$\frac{a^3}{8}+b^3$$. - Для работы в парах. Впишите вместо многоточия в выражение $$(n+8)(n-4)-(n+3)(n-2)+\ldots$$ пропущенное число так, чтобы получилось выражение, значение которого при любом целом $$n$$ делится на $$3$$.
1) Преобразуйте в многочлен каждое из произведений двучленов и выполните вычитание.
2) Обсудите друг с другом, какому условию должно удовлетворять пропущенное число.
3) Впишите вместо многоточия какое-либо число, удовлетворяющее условию задачи.
4) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание.
а) $$8-m^3=2^3-m^3=(2-m)(4+2m+m^2)$$
б) $$c^3+27=c^3+3^3=(c+3)(c^2-3c+9)$$
в) $$64x^3+1=(4x)^3+1^3=(4x+1)(16x^2-4x+1)$$
г) $$1-\frac{1}{8}p^3=1-\left(\frac{p}{2}\right)^3=\left(1-\frac{p}{2}\right)\left(1+\frac{p}{2}+\frac{p^2}{4}\right)$$
д) $$m^3-27n^3=m^3-(3n)^3=(m-3n)(m^2+3mn+9n^2)$$
е) $$\frac{1}{8}a^3+b^3=\left(\frac{a}{2}\right)^3+b^3=\left(\frac{a}{2}+b\right)\left(\frac{a^2}{4}-\frac{ab}{2}+b^2\right)$$
Пусть пропущенное выражение равно $$M$$. Тогда
$$(n+8)(n-4)-(n+3)(n-2)+M \\ = (n^2+4n-32)-(n^2+n-6)+M \\ = 3n-26+M.$$
Чтобы это выражение делилось на $$3$$ при любом целом $$n$$, число $$M$$ должно быть кратно $$3$$, так как $$3n$$ уже делится на $$3$$, а $$-26$$ даёт остаток $$1$$ при делении на $$3$$. Значит, нужно взять число вида $$M=3k+2$$, например $$M=2$$.
Проверка:
$$3n-26+2=3n-24$$
Это выражение делится на $$3$$ при любом целом $$n$$.
Ответ: а) $$(2-m)(4+2m+m^2)$$; б) $$(c+3)(c^2-3c+9)$$; в) $$(4x+1)(16x^2-4x+1)$$; г) $$\left(1-\frac{p}{2}\right)\left(1+\frac{p}{2}+\frac{p^2}{4}\right)$$; д) $$(m-3n)(m^2+3mn+9n^2)$$; е) $$\left(\frac{a}{2}+b\right)\left(\frac{a^2}{4}-\frac{ab}{2}+b^2\right)$$; в пропуск можно вписать, например, $$2$$.
