Упр.923 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
- Представьте выражение в виде суммы или разности кубов и разложите его на множители:
а) $$8x^3-1$$; б) $$1+27y^3$$; в) $$8-\frac{a^3}{8}$$; г) $$\frac{m^3}{64}+1000$$; д) $$125a^3-64b^3$$; е) $$\frac{x^3}{27}+\frac{y^3}{125}$$. - Докажите, что ни при каком целом $$n$$ значение выражения $$(2n+1)(n+5)-2(n+3)(n-3)-(5n+13)$$ не делится на 6.
а) $$8x^3-1=(2x)^3-1^3=(2x-1)(4x^2+2x+1)$$
б) $$1+27y^3=1^3+(3y)^3=(1+3y)(1-3y+9y^2)$$
в) $$8-\frac{1}{8}a^3=2^3-\left(\frac{a}{2}\right)^3=\left(2-\frac{a}{2}\right)\left(4+a+\frac{a^2}{4}\right)$$
г) $$\frac{1}{64}m^3+1000=\left(\frac{m}{4}\right)^3+10^3=\left(\frac{m}{4}+10\right)\left(\frac{m^2}{16}-\frac{5m}{2}+100\right)$$
д) $$125a^3-64b^3=(5a)^3-(4b)^3=(5a-4b)(25a^2+20ab+16b^2)$$
е) $$\frac{1}{27}x^3+\frac{1}{125}y^3=\left(\frac{x}{3}\right)^3+\left(\frac{y}{5}\right)^3=\left(\frac{x}{3}+\frac{y}{5}\right)\left(\frac{x^2}{9}-\frac{xy}{15}+\frac{y^2}{25}\right)$$
Преобразуем выражение:
$$(2n+1)(n+5)-2(n+3)(n-3)-(5n+13)=$$
$$=2n^2+10n+n+5-2(n^2-9)-5n-13=$$
$$=2n^2+11n+5-2n^2+18-5n-13=$$
$$=6n+10=6(n+1)+4$$
Так как одно слагаемое делится на $$6$$, а другое нет, то всё выражение не делится на $$6$$ ни при каком целом $$n$$.
Ответ: а) $$(2x-1)(4x^2+2x+1)$$; б) $$(1+3y)(1-3y+9y^2)$$; в) $$\left(2-\frac{a}{2}\right)\left(4+a+\frac{a^2}{4}\right)$$; г) $$\left(\frac{m}{4}+10\right)\left(\frac{m^2}{16}-\frac{5m}{2}+100\right)$$; д) $$(5a-4b)(25a^2+20ab+16b^2)$$; е) $$\left(\frac{x}{3}+\frac{y}{5}\right)\left(\frac{x^2}{9}-\frac{xy}{15}+\frac{y^2}{25}\right)$$; выражение не делится на $$6$$ ни при каком целом $$n$$.
