Упр.916 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
1) Проверьте правильность утверждения рИС 73 на конкретных примерах.
2) Разложите многочлен р2 — 1 на множители. Обсудите, почему полученное произведение кратно 4.
3) Обсудите, почему полученное произведение делится на 3.
4) Сделайте вывод.
Пусть p – произвольное простое число большее трёх.
1) p=7:
p^2-1=7^2-1=49-1=48=12•4 – значение выражения кратно 12, так как один из множителей равен 12.
p=5:
p^2-1=5^2-1=25-1=24=12•2 – значение выражения кратно 12, так как один из множителей равен 12.
2) p^2-1=(p-1)(p+1)
Так как p – простое число большее трёх, значит p – нечётное число.
Тогда выражения p-1 и p+1 будут чётными, следовательно, они будут делиться на 2.
Так как p-1 кратно 2 и p+1 кратно 2, то их произведение кратно 4.
3) Для любых трёх последовательных натуральных чисел, хотя бы одно из них будет делиться на 3.
Это связано с тем, что все натуральные числа можно разбить на группы: 1, 2, 3 – 4, 5, 6 – 7, 8, 9 …, в каждой из которых хотя бы одно число делится на 3 (при любых других разбиениях на тройки данное свойство будет сохраняться).
Так как p – простое число больше трёх, значит оно на 3 не делится, соответственно на 3 будет делиться либо p-1, либо
p+1. При этом каждое из них ещё делится и на 2.
4) Из пунктов 2 и 3 получили, что выражение кратно 4 и кратно 3, соответственно выражение будет кратно 2•2•3=4•3=12.
Что и требовалось доказать.
Пусть $$p$$ — произвольное простое число, большее трёх.
- Проверим утверждение на примерах:
$$p=7: \quad p^2-1=7^2-1=49-1=48=12\cdot 4,$$
значит, выражение кратно $$12$$.
$$p=5: \quad p^2-1=5^2-1=25-1=24=12\cdot 2,$$
значит, выражение тоже кратно $$12$$.
- Разложим многочлен на множители:
$$p^2-1=(p-1)(p+1).$$
Так как $$p$$ — простое число большее $$3$$, то оно нечётное. Тогда числа $$p-1$$ и $$p+1$$ — чётные, значит, каждое из них делится на $$2$$. Следовательно, их произведение делится на $$4$$.
Числа $$p-1$$, $$p$$, $$p+1$$ — три последовательных целых числа. Среди любых трёх последовательных чисел одно делится на $$3$$. Так как $$p$$ на $$3$$ не делится, то на $$3$$ делится либо $$p-1$$, либо $$p+1$$.
Значит, произведение $$ (p-1)(p+1) $$ делится на $$3$$.
Итак, выражение $$p^2-1$$ делится и на $$4$$, и на $$3$$. Так как $$4$$ и $$3$$ взаимно просты, то оно делится на $$12$$.
Ответ
Да, верно: для любого простого числа $$p>3$$ выражение $$p^2-1$$ кратно $$12$$.
