Упр.916 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
- Задача-исследование. Верно ли, что если $$p$$ — простое число, большее трёх, то значение выражения $$p^2-1$$ кратно 12?
1) Проверьте правильность утверждения при $$p>3$$ на конкретных примерах.
2) Разложите многочлен $$p^2-1$$ на множители. Обсудите, почему полученное произведение кратно 4.
3) Обсудите, почему полученное произведение делится на 3.
4) Сделайте вывод. - Докажите, что равенство не является тождеством:
а) $$x^4+4=(x+2)^2$$;
б) $$(x-2)(2+x)=4-x^2$$.
Пусть $$p$$ — произвольное простое число, большее $$3$$.
Проверим утверждение на примерах:
$$p=5:\quad p^2-1=5^2-1=25-1=24=12\cdot 2$$
$$p=7:\quad p^2-1=7^2-1=49-1=48=12\cdot 4$$
В обоих случаях значение выражения кратно $$12$$.
Разложим многочлен на множители:
$$p^2-1=(p-1)(p+1)$$
Так как $$p$$ — простое число большее $$3$$, то оно нечётное. Значит, числа $$p-1$$ и $$p+1$$ чётные, то есть каждое делится на $$2$$. Тогда их произведение делится на $$4$$.
Числа $$p-1$$, $$p$$, $$p+1$$ — три последовательных целых числа. Среди любых трёх последовательных чисел одно делится на $$3$$. Так как $$p$$ не делится на $$3$$, то на $$3$$ делится либо $$p-1$$, либо $$p+1$$.
Следовательно, произведение $$(p-1)(p+1)$$ делится на $$3$$.
Итак, выражение $$p^2-1=(p-1)(p+1)$$ делится и на $$4$$, и на $$3$$. Так как $$4$$ и $$3$$ взаимно просты, то произведение делится на $$12$$.
Утверждение верно.
Ответ: да, для любого простого числа $$p>3$$ выражение $$p^2-1$$ кратно $$12$$.
