Упр.914 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

б) Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (n + 7)2 — n2 делится на 7.

а) Преобразуем выражение, используя формулу разности квадратов:

$$ (4n+5)^2-9=(4n+5)^2-3^2=(4n+5-3)(4n+5+3) $$

$$ =(4n+2)(4n+8)=4(n+1)\cdot 4(n+2)=16(n+1)(n+2) $$

Следовательно, выражение делится на $4$ при любом натуральном $n$.

б) Аналогично:

$$ (n+7)^2-n^2=(n+7-n)(n+7+n)=7(2n+7) $$

Значит, выражение делится на $7$ при любом натуральном $n$.

Ответ

а) Делится на $4$.
б) Делится на $7$.