Упр.914 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
а) Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения $$(4n+5)^2-9$$ делится на 4.
б) Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения $$(n+7)^2-n^2$$ делится на 7.
Делится ли значение выражения:
а) $$38^3+37^3$$ на 75;
б) $$99^3-74^3$$ на 25?
а) Преобразуем выражение, используя формулу разности квадратов:
$$(4n+5)^2-9=(4n+5)^2-3^2=(4n+5-3)(4n+5+3)$$
$$=(4n+2)(4n+8)=4(n+1)(2n+1)\cdot 2=4\cdot 2(n+1)(2n+1)$$
Следовательно, выражение делится на $$4$$ при любом натуральном $$n$$.
б) Аналогично:
$$(n+7)^2-n^2=(n+7-n)(n+7+n)=7(2n+7)$$
Значит, выражение делится на $$7$$ при любом натуральном $$n$$.
в) Используем формулу суммы кубов:
$$38^3+37^3=(38+37)(38^2-38\cdot 37+37^2)=75(38^2-38\cdot 37+37^2)$$
Следовательно, $$38^3+37^3$$ делится на $$75$$.
г) Используем формулу разности кубов:
$$99^3-74^3=(99-74)(99^2+99\cdot 74+74^2)=25(99^2+99\cdot 74+74^2)$$
Следовательно, $$99^3-74^3$$ делится на $$25$$.
Ответ
а) делится на $$4$$; б) делится на $$7$$; в) делится на $$75$$; г) делится на $$25$$.
