Упр.905 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Разложите на множители:

а) $$x^4-9$$; б) $$25-n^6$$; в) $$m^8-a^2$$; г) $$y^2-p^4$$; д) $$c^6-d^6$$; е) $$x^6-a^4$$; ж) $$b^4-y^{10}$$; з) $$m^8-n^6$$; и) $$a^4-b^4$$; к) $$c^8-d^8$$; л) $$a^4-16$$; м) $$81-b^4$$.

Разложите на множители многочлен:

а) $$x^3+y^3$$; б) $$m^3-n^3$$; в) $$8+a^3$$; г) $$27-y^3$$; д) $$t^3+1$$; е) $$1-c^3$$.

Используем формулы разности квадратов и суммы/разности кубов:

$$A^2-B^2=(A-B)(A+B),$$

$$A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2), \qquad A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2).$$

Решение

1. $$x^4-9=(x^2)^2-3^2=(x^2-3)(x^2+3)$$
2. $$25-n^6=5^2-(n^3)^2=(5-n^3)(5+n^3)$$
3. $$m^8-a^2=(m^4)^2-a^2=(m^4-a)(m^4+a)$$
4. $$y^2-p^4=y^2-(p^2)^2=(y-p^2)(y+p^2)$$
5. $$c^6-d^6=(c^3)^2-(d^3)^2=(c^3-d^3)(c^3+d^3)$$
6. $$x^6-a^4=(x^3)^2-(a^2)^2=(x^3-a^2)(x^3+a^2)$$
7. $$b^4-y^{10}=(b^2)^2-(y^5)^2=(b^2-y^5)(b^2+y^5)$$
8. $$m^8-n^6=(m^4)^2-(n^3)^2=(m^4-n^3)(m^4+n^3)$$
9. $$a^4-b^4=(a^2)^2-(b^2)^2=(a^2-b^2)(a^2+b^2)$$
10. $$c^8-d^8=(c^4)^2-(d^4)^2=(c^4-d^4)(c^4+d^4)$$
11. $$a^4-16=(a^2)^2-4^2=(a^2-4)(a^2+4)$$
12. $$81-b^4=9^2-(b^2)^2=(9-b^2)(9+b^2)$$

Для многочленов используем формулы суммы и разности кубов:

1. $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$$
2. $$m^3-n^3=(m-n)(m^2+mn+n^2)$$
3. $$8+a^3=2^3+a^3=(2+a)(4-2a+a^2)$$
4. $$27-y^3=3^3-y^3=(3-y)(9+3y+y^2)$$
5. $$t^3+1=t^3+1^3=(t+1)(t^2-t+1)$$
6. $$1-c^3=1^3-c^3=(1-c)(1+c+c^2)$$

Ответ

а) $$\left(x^2-3\right)\left(x^2+3\right)$$; б) $$\left(5-n^3\right)\left(5+n^3\right)$$; в) $$\left(m^4-a\right)\left(m^4+a\right)$$; г) $$\left(y-p^2\right)\left(y+p^2\right)$$; д) $$\left(c^3-d^3\right)\left(c^3+d^3\right)$$; е) $$\left(x^3-a^2\right)\left(x^3+a^2\right)$$; ж) $$\left(b^2-y^5\right)\left(b^2+y^5\right)$$; з) $$\left(m^4-n^3\right)\left(m^4+n^3\right)$$; и) $$\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2\right)$$; к) $$\left(c^4-d^4\right)\left(c^4+d^4\right)$$; л) $$\left(a^2-4\right)\left(a^2+4\right)$$; м) $$\left(9-b^2\right)\left(9+b^2\right)$$.

а) $$\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)$$; б) $$\left(m-n\right)\left(m^2+mn+n^2\right)$$; в) $$\left(2+a\right)\left(4-2a+a^2\right)$$; г) $$\left(3-y\right)\left(9+3y+y^2\right)$$; д) $$\left(t+1\right)\left(t^2-t+1\right)$$; е) $$\left(1-c\right)\left(1+c+c^2\right)$$.