Упр.900 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
- Разложите на множители: а) $$25x^2-y^2$$; б) $$-m^2+16n^2$$; в) $$36a^2-49$$; г) $$64-25x^2$$; д) $$9m^2-16n^2$$; е) $$64p^2-81q^2$$; ж) $$-49a^2+16b^2$$; з) $$0{,}01n^2-4m^2$$; и) $$9-b^2c^2$$; к) $$4a^2b^2-1$$; л) $$p^2-a^2b^2$$; м) $$16c^2d^2-9a^2$$.
- Задача-исследование. Верно ли, что если $$p$$ — простое число, большее трёх, то значение выражения $$p^2-1$$ кратно $$12$$?
1) Проверьте правильность утверждения на конкретных примерах.
2) Разложите многочлен $$p^2-1$$ на множители. Обсудите, почему полученное произведение кратно $$4$$.
3) Обсудите, почему полученное произведение делится на $$3$$.
4) Сделайте вывод.
а) $$25x^2-y^2=(5x)^2-y^2=(5x-y)(5x+y)$$
б) $$-m^2+16n^2=(4n)^2-m^2=(4n-m)(4n+m)$$
в) $$36a^2-49=(6a)^2-7^2=(6a-7)(6a+7)$$
г) $$64-25x^2=8^2-(5x)^2=(8-5x)(8+5x)$$
д) $$9m^2-16n^2=(3m)^2-(4n)^2=(3m-4n)(3m+4n)$$
е) $$64p^2-81q^2=(8p)^2-(9q)^2=(8p-9q)(8p+9q)$$
ж) $$-49a^2+16b^2=(4b)^2-(7a)^2=(4b-7a)(4b+7a)$$
з) $$0{,}01n^2-4m^2=(0{,}1n)^2-(2m)^2=(0{,}1n-2m)(0{,}1n+2m)$$
и) $$9-b^2c^2=3^2-(bc)^2=(3-bc)(3+bc)$$
к) $$4a^2b^2-1=(2ab)^2-1^2=(2ab-1)(2ab+1)$$
л) $$p^2-a^2b^2=p^2-(ab)^2=(p-ab)(p+ab)$$
м) $$16c^2d^2-9a^2=(4cd)^2-(3a)^2=(4cd-3a)(4cd+3a)$$
Ход решения
Пусть $$p$$ — произвольное простое число, большее трёх.
Проверим утверждение на примерах:
$$p=5:\quad p^2-1=5^2-1=25-1=24=12\cdot 2$$
$$p=7:\quad p^2-1=7^2-1=49-1=48=12\cdot 4$$
В обоих случаях значение выражения кратно $$12$$.
Разложим многочлен на множители:
$$p^2-1=(p-1)(p+1)$$
Так как $$p$$ — простое число большее трёх, то оно нечётное. Значит, числа $$p-1$$ и $$p+1$$ чётные, то есть каждое делится на $$2$$. Следовательно, их произведение делится на $$4$$.
Числа $$p-1$$, $$p$$ и $$p+1$$ — три последовательных целых числа. Среди любых трёх последовательных чисел одно делится на $$3$$. Так как $$p$$ на $$3$$ не делится, то на $$3$$ делится либо $$p-1$$, либо $$p+1$$. Значит, произведение $$(p-1)(p+1)$$ делится на $$3$$.
Итак, выражение $$p^2-1$$ делится и на $$4$$, и на $$3$$. Так как $$4$$ и $$3$$ взаимно просты, то оно делится на $$12$$.
Ответ
Да, верно: для любого простого числа $$p>3$$ выражение $$p^2-1$$ кратно $$12$$.
