Упр.898 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
- Со станций М и N, расстояние между которыми 380 км, одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Скорость поезда, отправившегося со станции N, была больше скорости другого поезда на 5 км/ч. Через 2 ч после отправления поездам оставалось пройти до встречи 30 км. Найдите скорость поездов.
- а) Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения $$(4n+5)^2-9$$ делится на 4.
б) Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения $$(n+7)^2-n^2$$ делится на 7.
Пусть скорость поезда, отправившегося со станции $$M,$$ равна $$x$$ км/ч, тогда скорость поезда, отправившегося со станции $$N,$$ равна $$x+5$$ км/ч.
За $$2$$ ч первый поезд пройдёт $$2x$$ км, а второй — $$2(x+5)$$ км. Тогда вместе они пройдут
$$2x+2(x+5)=4x+10$$
км, а до встречи останется $$30$$ км. Составим уравнение:
$$380-(2x+2(x+5))=30$$
$$380-2x-2x-10=30$$
$$370-4x=30$$
$$4x=340$$
$$x=85$$
Значит, скорость первого поезда равна $$85$$ км/ч, а второго:
$$85+5=90$$ км/ч.
а) Преобразуем выражение:
$$(4n+5)^2-9=(4n+5)^2-3^2=(4n+5-3)(4n+5+3)$$
$$=(4n+2)(4n+8)=4(n+1)(4n+2)$$
Следовательно, выражение делится на $$4$$ при любом натуральном $$n$$.
б) Преобразуем выражение:
$$(n+7)^2-n^2=(n+7-n)(n+7+n)=7(2n+7)$$
Следовательно, выражение делится на $$7$$ при любом натуральном $$n$$.
Ответ: $$85$$ км/ч и $$90$$ км/ч; а) делится на $$4$$; б) делится на $$7$$.
