Упр.890 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Задача

1) Проверьте утверждение на примере чисел 19, 20, 21.
2) Составьте выражение, обозначив через р одно из этих чисел, и выполните преобразование составленного выражения. Одному учащемуся рекомендуем обозначить через р наименьшее из чисел, а другому — среднее из чисел.
3) Проверьте друг у друга правильность преобразований и сравните их сложность.

Подробный ответ

1) Проверим утверждение на числах $$19,\ 20,\ 21$$:

$$19 \cdot 20 \cdot 21 + 20 = 7980 + 20 = 8000 = 20^3.$$

Равенство верно.

2) Пусть наименьшее из трёх последовательных целых чисел равно $$n$$. Тогда остальные числа: $$n+1$$ и $$n+2$$.

Составим выражение:

$$n(n+1)(n+2)+(n+1).$$

Преобразуем его:

$$ n(n+1)(n+2)+(n+1)= (n+1)\bigl(n(n+2)+1\bigr)= (n+1)(n^2+2n+1)= (n+1)^3. $$

Значит, сумма произведения трёх последовательных целых чисел и среднего из них равна кубу среднего числа.

Если среднее число обозначить через $$n$$, то числа будут $$n-1$$, $$n$$ и $$n+1$$. Тогда:

$$ (n-1)n(n+1)+n= n(n^2-1)+n= n^3-n+n= n^3. $$