Упр.890 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
- Для работы в парах. Докажите, что сумма произведения трёх последовательных целых чисел и среднего из них равна кубу среднего числа.
1) Проверьте утверждение на примере чисел $$19$$, $$20$$, $$21$$.
2) Составьте выражение, обозначив через $$p$$ одно из этих чисел, и выполните преобразование составленного выражения. Одному учащемуся рекомендуем обозначить через $$p$$ наименьшее из чисел, а другому — среднее из чисел.
3) Проверьте друг у друга правильность преобразований и сравните их сложность. - Решите уравнение:
а) $$x^2-16=0$$;
б) $$y^2-81=0$$;
в) $$\frac{1}{9}-x^2=0$$;
г) $$a^2-0{,}25=0$$;
д) $$b^2+36=0$$;
е) $$x^2-1=0$$;
ж) $$4x^2-9=0$$;
з) $$25x^2-16=0$$;
и) $$81x^2+4=0$$.
Пусть три последовательных целых числа — это $$x,\;x+1,\;x+2.$$ Тогда их произведение и среднее число дают:
$$x(x+1)(x+2)+(x+1).$$
Вынесем общий множитель $$x+1$$:
$$x(x+1)(x+2)+(x+1)=(x+1)\bigl(x(x+2)+1\bigr).$$
Раскроем скобки:
$$x(x+2)+1=x^2+2x+1=(x+1)^2.$$
Значит,
$$x(x+1)(x+2)+(x+1)=(x+1)(x+1)^2=(x+1)^3.$$
Следовательно, сумма произведения трёх последовательных целых чисел и среднего из них равна кубу среднего числа.
Проверим на числах $$19,\;20,\;21$$:
$$19\cdot 20\cdot 21+20=7980+20=8000=20^3.$$
Если обозначить наименьшее число через $$p$$, то числа будут $$p,\;p+1,\;p+2$$, а среднее — $$p+1$$. Тогда
$$p(p+1)(p+2)+(p+1)=(p+1)\bigl(p(p+2)+1\bigr)=(p+1)(p^2+2p+1)=(p+1)^3.$$
Если обозначить среднее число через $$p$$, то числа будут $$p-1,\;p,\;p+1$$. Тогда
$$(p-1)p(p+1)+p=p\bigl((p-1)(p+1)+1\bigr)=p(p^2-1+1)=p^3.$$
Для уравнений:
- $$x^2-16=0$$
$$x^2=16$$
$$x=\pm 4.$$ - $$y^2-81=0$$
$$y^2=81$$
$$y=\pm 9.$$ - $$\frac{1}{9}-x^2=0$$
$$x^2=\frac{1}{9}$$
$$x=\pm \frac{1}{3}.$$ - $$a^2-0{,}25=0$$
$$a^2=0{,}25$$
$$a=\pm 0{,}5.$$ - $$b^2+36=0$$
$$b^2=-36.$$
Действительных корней нет. - $$x^2-1=0$$
$$x^2=1$$
$$x=\pm 1.$$ - $$4x^2-9=0$$
$$4x^2=9$$
$$x^2=\frac{9}{4}$$
$$x=\pm \frac{3}{2}.$$ - $$25x^2-16=0$$
$$25x^2=16$$
$$x^2=\frac{16}{25}$$
$$x=\pm \frac{4}{5}.$$ - $$81x^2+4=0$$
$$81x^2=-4.$$
Действительных корней нет.
Ответ: $$x(x+1)(x+2)+(x+1)=(x+1)^3$$; на примере $$19,20,21$$ получаем $$8000=20^3$$; в уравнениях: а) $$x=\pm4$$, б) $$y=\pm9$$, в) $$x=\pm\frac13$$, г) $$a=\pm0{,}5$$, д) корней нет, е) $$x=\pm1$$, ж) $$x=\pm\frac32$$, з) $$x=\pm\frac45$$, и) корней нет.
