Упр.872 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. С помощью рисунка 72 разъясните геометрический смысл формулы $$\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$$ для положительных $$a$$ и $$b$$, удовлетворяющих условию $$a>b$$.
2. Докажите, что квадрат любого целого числа на единицу больше произведения предыдущего и последующего целых чисел.

Площадь прямоугольника со сторонами $$a-b$$ и $$a+b$$ равна

$$S=(a-b)(a+b).$$

Эту же площадь можно выразить иначе: из площади квадрата со стороной $$a$$ вычесть площади двух прямоугольников со сторонами $$b$$ и $$a-b$$, а затем прибавить площадь квадрата со стороной $$b$$:

$$a^2-b(a-b)-b^2+b(a-b)=a^2-b^2.$$

Следовательно,

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2.$$

Пусть целое число равно $$n$$. Тогда предыдущее число — $$n-1$$, а последующее — $$n+1$$.

Их произведение равно:

$$(n-1)(n+1)=n^2-1.$$

Значит, квадрат любого целого числа на единицу больше произведения предыдущего и последующего целых чисел.

Ответ: $$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$; квадрат любого целого числа на единицу больше произведения предыдущего и последующего целых чисел.