Упр.845 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение: а) $$\left(x+3\right)^3-\left(x-3\right)^3$$; б) $$\left(a-2b\right)^3+6ab\left(a-2b\right)$$.
2. Преобразуйте выражение в квадрат двучлена: а) $$x^4-8x^2y^2+16y^4$$; б) $$-x^4+2x^2a+16a^2$$; в) $$\frac{a^2}{4}+2ab^2+4b^4$$; г) $$a^2x^2-2abx+b^2$$.

а) $$(x+3)^3-(x-3)^3$$

Раскроем скобки по формуле куба двучлена:

$$(x+3)^3=x^3+9x^2+27x+27,$$

$$(x-3)^3=x^3-9x^2+27x-27.$$

Тогда

$$(x+3)^3-(x-3)^3= x^3+9x^2+27x+27-(x^3-9x^2+27x-27)$$

$$= x^3+9x^2+27x+27-x^3+9x^2-27x+27 =18x^2+54.$$

б) $$(a-2b)^3+6ab(a-2b)$$

Вынесем общий множитель $$a-2b$$:

$$(a-2b)^3+6ab(a-2b)=(a-2b)\bigl((a-2b)^2+6ab\bigr).$$

Раскроем квадрат:

$$(a-2b)^2=a^2-4ab+4b^2.$$

Тогда

$$(a-2b)\bigl(a^2-4ab+4b^2+6ab\bigr) =(a-2b)(a^2+2ab+4b^2).$$

Но

$$(a-2b)(a^2+2ab+4b^2)=a^3-8b^3.$$

Ответ: а) $$18x^2+54$$; б) $$a^3-8b^3$$.