Упр.829 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Представьте в виде многочлена: а) $$(a^2-2b)^2$$; б) $$(x^3+3y^4)^2$$; в) $$(7a^6+12a)^2$$; г) $$(15x-x^3)^2$$.
2. Упростите выражение: а) $$(x+3)^3-(x-3)^3$$; б) $$(a-2b)^3+6ab(a-2b)$$.

Используем формулы сокращённого умножения:

$$(u+v)^2=u^2+2uv+v^2, \qquad (u-v)^2=u^2-2uv+v^2.$$

Решение

а) $$(a^2-2b)^2=a^4-4a^2b+4b^2.$$

б) $$(x^3+3y^4)^2=x^6+6x^3y^4+9y^8.$$

в) $$(7a^6+12a)^2=49a^{12}+168a^7+144a^2.$$

г) $$(15x-x^3)^2=225x^2-30x^4+x^6.$$

Для задания 2019 года:

а) $$(x+3)^3-(x-3)^3$$

Раскроем скобки:

$$(x+3)^3=x^3+9x^2+27x+27, \qquad (x-3)^3=x^3-9x^2+27x-27.$$

Тогда

$$(x+3)^3-(x-3)^3= x^3+9x^2+27x+27-(x^3-9x^2+27x-27)=18x^2+54.$$

б) $$(a-2b)^3+6ab(a-2b).$$

Вынесем общий множитель $$a-2b$$:

$$(a-2b)^3+6ab(a-2b)=(a-2b)\bigl((a-2b)^2+6ab\bigr).$$

Раскроем квадрат:

$$(a-2b)^2=a^2-4ab+4b^2.$$

Тогда

$$(a-2b)\bigl(a^2-4ab+4b^2+6ab\bigr)=(a-2b)(a^2+2ab+4b^2).$$

Раскроем скобки:

$$(a-2b)(a^2+2ab+4b^2)=a^3-8b^3.$$

Ответ

а) $$a^4-4a^2b+4b^2$$; б) $$x^6+6x^3y^4+9y^8$$; в) $$49a^{12}+168a^7+144a^2$$; г) $$225x^2-30x^4+x^6$$; для 2019 года: а) $$18x^2+54$$, б) $$a^3-8b^3$$.