Упр.825 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
- Преобразуйте в многочлен: а) $$(-3a+10b)^2$$; б) $$(-6m-n)^2$$; в) $$(8x-0{,}3y)^2$$; г) $$\left(5a+\frac{1}{15}b\right)^2$$; д) $$(-0{,}2p-10q)^2$$; е) $$(0{,}8x-0{,}1y)^2$$.
- Докажите тождество Диофанта (III в.): $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$$.
Используем формулу квадрата суммы и квадрата разности:
$$\left(x+y\right)^2=x^2+2xy+y^2,\qquad \left(x-y\right)^2=x^2-2xy+y^2.$$
$$(-3a+10b)^2=(-3a)^2+2\cdot(-3a)\cdot 10b+(10b)^2=9a^2-60ab+100b^2.$$
$$(-6m-n)^2=(-6m)^2+2\cdot(-6m)\cdot(-n)+(-n)^2=36m^2+12mn+n^2.$$
$$\left(8x-0{,}3y\right)^2=(8x)^2-2\cdot 8x\cdot 0{,}3y+(0{,}3y)^2=64x^2-4{,}8xy+0{,}09y^2.$$
$$\left(5a+\frac{1}{15}b\right)^2=(5a)^2+2\cdot 5a\cdot \frac{1}{15}b+\left(\frac{1}{15}b\right)^2=25a^2+\frac{2}{3}ab+\frac{1}{225}b^2.$$
$$(-0{,}2p-10q)^2=(-0{,}2p)^2+2\cdot(-0{,}2p)\cdot(-10q)+(10q)^2=0{,}04p^2+4pq+100q^2.$$
$$\left(0{,}8x-0{,}1y\right)^2=(0{,}8x)^2-2\cdot 0{,}8x\cdot 0{,}1y+(0{,}1y)^2=0{,}64x^2-0{,}16xy+0{,}01y^2.$$
Докажем тождество:
$$\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2.$$
Раскроем скобки в правой части:
$$\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2$$
$$=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2$$
$$=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2$$
$$=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right).$$
Тождество доказано.
Ответ
а) $$9a^2-60ab+100b^2$$; б) $$36m^2+12mn+n^2$$; в) $$64x^2-4{,}8xy+0{,}09y^2$$; г) $$25a^2+\frac{2}{3}ab+\frac{1}{225}b^2$$; д) $$0{,}04p^2+4pq+100q^2$$; е) $$0{,}64x^2-0{,}16xy+0{,}01y^2$$; $$\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2$$.
