Упр.818 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

n2 + (n + 2)2 + (n + 9)2 = (n — 1)2 + (n + 5)2 + (n + 7)2 + 10
верно при n = 3. Покажите, что это равенство верно при любом n.

Раскроем скобки в левой части:

$$n^2+(n+2)^2+(n+9)^2=n^2+(n^2+4n+4)+(n^2+18n+81)=3n^2+22n+85.$$

Раскроем скобки в правой части:

$$ (n-1)^2+(n+5)^2+(n+7)^2+10= (n^2-2n+1)+(n^2+10n+25)+(n^2+14n+49)+10= 3n^2+22n+85. $$

Получили, что обе части равны одному и тому же выражению:

$$3n^2+22n+85=3n^2+22n+85.$$

Значит, равенство верно при любом $n$.

Проверим при $n=3$:

$$3\cdot 3^2+22\cdot 3+85=3\cdot 9+66+85=27+66+85=178,$$

$$3\cdot 3^2+22\cdot 3+85=178.$$

Равенство выполняется.

Ответ

При $n=3$ равенство верно; вообще оно верно при любом $n$, так как обе его части равны $3n^2+22n+85$.