Упр.813 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если $$b+c=10$$, то $$(10a+b)(10a+c)=100a(a+1)+bc$$. Воспользовавшись этой формулой, вычислите: а) $$23\cdot27$$; б) $$42\cdot48$$; в) $$59\cdot51$$; г) $$84\cdot86$$.
2. Представьте в виде многочлена: а) $$(a^2-2b)^2$$; б) $$(x^3+3y^4)^2$$; в) $$(7a^6+12a)^2$$; г) $$(15x-x^3)^2$$.

Докажем формулу:

$$(10a+b)(10a+c)=100a(a+1)+bc,$$

если $$b+c=10.$$

Раскроем скобки:

$$(10a+b)(10a+c)=100a^2+10ac+10ab+bc.$$

Сгруппируем с учётом условия $$b+c=10$$:

$$100a^2+10a(c+b)+bc=100a^2+10a\cdot 10+bc=100a^2+100a+bc.$$

Тогда

$$100a^2+100a+bc=100a(a+1)+bc.$$

Формула доказана.

Теперь вычислим произведения:

1. $$23\cdot 27=(2\cdot 10+3)(2\cdot 10+7)=100\cdot 2\cdot (2+1)+3\cdot 7=600+21=621.$$

2. $$42\cdot 48=(4\cdot 10+2)(4\cdot 10+8)=100\cdot 4\cdot (4+1)+2\cdot 8=2000+16=2016.$$

3. $$59\cdot 51=(5\cdot 10+9)(5\cdot 10+1)=100\cdot 5\cdot (5+1)+9\cdot 1=3000+9=3009.$$

4. $$84\cdot 86=(8\cdot 10+4)(8\cdot 10+6)=100\cdot 8\cdot (8+1)+4\cdot 6=7200+24=7224.$$

Ответ: $$23\cdot 27=621,$$ $$42\cdot 48=2016,$$ $$59\cdot 51=3009,$$ $$84\cdot 86=7224.$$