Упр.805 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

1. Периметр прямоугольника равен $$30\ \text{см}$$. Если его длину уменьшить на $$3\ \text{см}$$, а ширину увеличить на $$5\ \text{см}$$, то площадь прямоугольника уменьшится на $$8\ \text{см}^2$$. Найдите площадь первоначального прямоугольника.
2. Преобразуйте в многочлен: а) $$(-x+5)^2$$; б) $$(-z-2)^2$$; в) $$(-n+4)^2$$; г) $$(-m-10)^2$$.

Так как периметр прямоугольника равен $$30$$ см, то его полупериметр равен $$15$$ см.

Пусть длина прямоугольника равна $$x$$ см, тогда ширина равна $$15-x$$ см.

После изменения сторон длина станет равной $$x-3$$ см, а ширина — $$15-x+5=20-x$$ см.

Тогда площадь первоначального прямоугольника равна $$x(15-x)$$, а площадь после изменения сторон — $$(x-3)(20-x)$$.

По условию площадь уменьшилась на $$8$$ см$$^2$$, значит:

$$x(15-x)=(x-3)(20-x)+8$$

Раскроем скобки:

$$15x-x^2=20x-x^2-60+3x+8$$

Сократим $$-x^2$$ и перенесём слагаемые:

$$15x=23x-52$$

$$8x=52$$

$$x=6{,}5$$

Тогда ширина прямоугольника:

$$15-6{,}5=8{,}5$$

Найдём площадь первоначального прямоугольника:

$$S=6{,}5\cdot 8{,}5=55{,}25$$

Ответ: $$55{,}25$$ см$$^2$$.