Упр.801 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

а) произведение двух средних из четырёх последовательных целых чисел на 2 больше произведения крайних чисел;
б) квадрат среднего из трёх последовательных нечётных чисел на 4 больше произведения двух крайних чисел.
а) Пусть четыре последовательных натуральных чисел будут:
n,n+1,n+2,n+3.
Докажем, что произведение двух средних из четырёх последовательных целых чисел на 2 больше произведения крайних чисел.
Составим и решим уравнение.
(n+1)(n+2)-n(n+3)=2
n^2+2n+n+2-n^2-3n=2
2=2
Так как получили верное равенство, значит предполагаемое утверждение верно.
Что и требовалось доказать.
б) Пусть три последовательных натуральных нечётных числа будут: 2n+1,2n+3,2n+5.
Докажем, что квадрат среднего из трёх последовательных нечётных чисел на 4 больше произведения двух крайних чисел.
Составим и решим уравнение.
(2n+3)^2-(2n+1)(2n+5)=4
(2n+3)(2n+3)-(2n+1)(2n+5)=4
4n^2+6n+6n+9-(4n^2+10n+2n+5)=4
4n^2+12n+9-4n^2-12n-5=4
4=4
Так как получили верное равенство, значит предполагаемое утверждение верно.
Что и требовалось доказать.

а) Пусть четыре последовательных целых числа: $$n,\; n+1,\; n+2,\; n+3.$$

Тогда произведение двух средних чисел равно $$ (n+1)(n+2), $$ а произведение крайних чисел — $$ n(n+3). $$

Найдём разность:

$$ (n+1)(n+2)-n(n+3)=n^2+3n+2-(n^2+3n)=2. $$

Значит, произведение двух средних чисел на 2 больше произведения крайних чисел.

б) Пусть три последовательных нечётных числа: $$2n+1,\; 2n+3,\; 2n+5.$$

Тогда квадрат среднего числа равен $$ (2n+3)^2, $$ а произведение крайних чисел — $$ (2n+1)(2n+5). $$

Найдём разность:

$$ (2n+3)^2-(2n+1)(2n+5)=4n^2+12n+9-(4n^2+12n+5)=4. $$

Значит, квадрат среднего числа на 4 больше произведения двух крайних чисел.

Ответ

а) $$ (n+1)(n+2)-n(n+3)=2. $$
б) $$ (2n+3)^2-(2n+1)(2n+5)=4. $$