Упр.801 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)
- Докажите, что:
а) произведение двух средних из четырёх последовательных целых чисел на 2 больше произведения крайних чисел;
б) квадрат среднего из трёх последовательных нечётных чисел на 4 больше произведения двух крайних чисел. - С помощью рисунка 71 разъясните геометрический смысл формулы $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ для положительных $$a$$ и $$b$$, удовлетворяющих условию $$a>b$$.
а) Пусть четыре последовательных целых числа: $$n,\ n+1,\ n+2,\ n+3.$$
Тогда произведение двух средних чисел равно:
$$(n+1)(n+2)$$
а произведение крайних чисел равно:
$$n(n+3).$$
Найдём разность:
$$\begin{aligned} (n+1)(n+2)-n(n+3) &= n^2+3n+2-(n^2+3n) \\ &= 2. \end{aligned}$$
Значит, произведение двух средних чисел на 2 больше произведения крайних чисел.
б) Пусть три последовательных нечётных числа: $$2n+1,\ 2n+3,\ 2n+5.$$
Тогда квадрат среднего числа равен:
$$(2n+3)^2$$
а произведение двух крайних чисел равно:
$$(2n+1)(2n+5).$$
Найдём разность:
$$\begin{aligned} (2n+3)^2-(2n+1)(2n+5) &= 4n^2+12n+9-(4n^2+12n+5) \\ &= 4. \end{aligned}$$
Следовательно, квадрат среднего числа на 4 больше произведения двух крайних чисел.
Для формулы $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ при $$a>b>0$$ рассмотрим квадрат со стороной $$a-b$$. Его площадь равна $$(a-b)^2.$$
С другой стороны, из квадрата со стороной $$a$$ вычтем два прямоугольника со сторонами $$b$$ и $$a-b$$, а также квадрат со стороной $$b$$. Тогда получим:
$$a^2-2b(a-b)-b^2=a^2-2ab+2b^2-b^2=a^2-2ab+b^2.$$
Значит,
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$$
